Mệnh đề nào sau đây đúng?

8/20

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x}\;\;khi\;x > 0\\x + 2021\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 0\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số liên tục trên ℝ.

Hàm số gián đoạn tại x = 3.

Hàm số gián đoạn tại x = 0.

Hàm số gián đoạn tại x = 1.

Giải thích

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {1 + 2x} - 1}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{2x}}{{x\left( {\sqrt {1 + 2x} + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{2}{{\sqrt {1 + 2x} + 1}} = 1\);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \left( {x + 2021} \right) = 2021\).

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right)\) nên hàm số gián đoạn tại x = 0.