Máy xúc đang đổ cát để tạo thành một đống cát với tốc độ xả cát phụ thuộc vào thời gian là V'(t) = \(10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)\) (m³/giờ), quá trình này diễn ra liên tục từ lú

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.                     b) Sai.                    c) Đúng.                d) Đúng.

a) Đúng. Thể tích cát tích lũy V(t) là nguyên hàm của tốc độ xả V'(t), do V(0) = 0 nên thể tích bằng tích phân xác định từ 0 đến t.

b) Sai. Áp dụng công thức nguyên hàm hàm hợp: \(\int {10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} dt =  - 10 \cdot \frac{6}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C =  - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) + C\). Mệnh đề thiếu dấu trừ.

c) Đúng. Tốc độ xả cát là \(10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)\). Biểu thức này đạt lớn nhất bằng 10 khi \(\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right) = 1\) suy ra \(\frac{{\pi t}}{6} = \frac{\pi }{2}\) hay t = 3 (giờ).

d) Đúng. Lượng cát sau 6 giờ là \(V(6) = \int_0^6 {10\sin \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} dt = \left. { - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6}} \right)} \right|_0^6\).

\( =  - \frac{{60}}{\pi }\cos \left( \pi  \right) - \left( { - \frac{{60}}{\pi }\cos 0} \right) =  - \frac{{60}}{\pi }( - 1) + \frac{{60}}{\pi } \cdot 1 = \frac{{60}}{\pi } + \frac{{60}}{\pi } = \frac{{120}}{\pi }\) (m³).