Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí với một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao
84/235
Mặt sàn của một thang máy có dạng hình vuông ABCD cạnh 2m được lát gạch màu trắng và trang trí với một hình 4 cánh giống nhau màu sẫm. Khi đặt trong hệ tọa độ Oxy với O là tâm hình vuông sao cho A(1;1) như hình vẽ bên thì các đường cong (OA) có phương trình \(y = {x^2}\) và \(y = a{x^3} + bx.\)Tính giá trị ab biết rằng diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\)diện tích mặt sàn.
Đáp án: ___
Phương pháp giải
Diện tích 1 cánh của hình trang trí là:\({S_1} = \int_0^1 {\left( {{x^2} - a{x^3} - bx} \right)} dx = \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{a{x^4}}}{4} - \frac{{b{x^2}}}{2}} \right)|_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{a}{4} - \frac{b}{2}.\)
Diện tích hình trang trí là: \(S = 4{S_1} = \frac{4}{3} - a - 2b.\)
Vì diện tích trang trí màu sẫm chiếm \(\frac{1}{3}\)diện tích mặt sàn nên:
\(\frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{3}\)\( \Rightarrow \frac{4}{3} - a - 2b = \frac{4}{9}\; \Leftrightarrow \;a + 2b = 0.\)
Khi đó ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + b = 1}\\{a + 2b = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\)
Vậy ab=-2.