Mặt phẳng ( R ) chứa đường thẳng d : x = − t; y = − 1 + 2 t ( t ∈ R ) ; z = 2 + t và tạo với mặt phẳng ( P ) : 2 x − y − 2 z − 2 = 0 một góc nhỏ nhất có phương trình là _______x + _____

Đáp số

Mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - t}\\{y =  - 1 + 2t\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right){\rm{\;}}}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.\)và tạo với mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z - 2 = 0\) một góc nhỏ nhất có phương trình là 1 x + 1 y + -1 z + 3  = 0.

Giải thích

Dễ thấy, đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec v = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Do mặt phẳng \(\left( R \right)\) đi qua điểm \(M\) nên phương trình có dạng

\(A\left( {x - 0} \right) + B\left( {y + 1} \right) + C\left( {z - 2} \right) = 0\), với \({A^2} + {B^2} + {C^2} \ne 0\).

Do \(\left( R \right)\) chứa \(d\) nên \(\vec v \bot \vec n\), với \(\vec n = \left( {A;B;C} \right)\) hay \( - A + 2B + C = 0 \Leftrightarrow A = 2B + C\).

Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi \(\left( R \right)\) và \(\left( P \right)\), ta có

\({\rm{cos}}\alpha  = \frac{{\left| B \right|}}{{\sqrt {5{B^2} + 4BC + 2{C^2}} }}\).

- Nếu \(B = 0\) thì \(\alpha  = {90^ \circ }\).

- Nếu \(B \ne 0\), đặt \(m = \frac{C}{B}\) ta có:

\({\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{{\sqrt {2{m^2} + 4m + 5} }} = \frac{1}{{\sqrt {2{{(m + 1)}^2} + 3} }} \le \frac{1}{{\sqrt 3 }}\).

\(\alpha \) nhỏ nhất \( \Leftrightarrow {\rm{cos}}\alpha  = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow m =  - 1 \Leftrightarrow B =  - C\).

Vậy phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(x + y - z + 3 = 0\).