Mặt phẳng nào trong các mặt phẳng có phương trình dưới đây đi qua điểm A(3;4;5) và chứa đường thẳng d: (x - 2)/5 = (y - 4)/4 = (z - 1)/6?

Phương pháp giải:

Lấy một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng \(d\).

Giải chi tiết:

Trên đường thẳng \(d\), lấy điểm \(B(2;4;1)\).

Khi đó:

    \[\overrightarrow {AB} = (2 - 3;{\mkern 1mu} 4 - 4;{\mkern 1mu} 1 - 5) = ( - 1;0; - 4).\]

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là:

                                                               \[\vec u = (5;4;6).\]

Mặt phẳng cần tìm chứa đường thẳng \(d\) và điểm \(A\)

nên nhận

                                        \[\vec n = \vec u \times \overrightarrow {AB} \]

làm vectơ pháp tuyến.

Ta có:

      \[\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\5&4&6\\{ - 1}&0&{ - 4}\end{array}} \right| = (16; - 14; - 4)\~(8; - 7; - 2).\]

Phương trình mặt phẳng đi qua \(A(3;4;5)\) là:

                                                   \[8(x - 3) - 7(y - 4) - 2(z - 5) = 0\]

                                            \[ \Leftrightarrow \;8x - 7y - 2z + 14 = 0.\]

Đáp án: C.