Mặt phẳng (MNP) cắt SD tại Q. Khi đó NQ = a.

a) Trong mặt phẳng (SAC), I = MP Ç SO.

Trong mặt phẳng (SBD), NI Ç SD = Q mà NI Ì (MNP) Þ Q = SD Ç (MNP).

Xét DSAC, có MP // AC suy ra I là trung điểm SO.

Xét DSBD có IN // BO Þ NQ // BD mà N là trung điểm SB nên Q là trung điểm SD.

Do đó NQ là đường trung bình của DSBD \( \Rightarrow NQ = \frac{{BD}}{2} = \frac{{2a\sqrt 2 }}{2} = a\sqrt 2 \).

b) DSAB, có MN // AB mà AB // CD Þ MN // (SCD) (1).

DSBD có NO // SD Þ NO // (SCD) (2).

Mà MN, NO Ì (MNO) và MN Ç NO = N (3).

Từ (1), (2), (3) Þ (MNO) // (SCD).

c) MN // AB Þ MN // (ABCD)

MP // BC Þ MP // (ABCD) mà MN Ç MP = M nên (MNP) // (ABCD).

d)Xét tứ giác MNPQ có I là trung điểm của MP, NQ nên tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN = NP (vì cùng bằng \(\frac{{AB}}{2}\)) nên MNPQ là hình thoi.

Có \(MP = \frac{{AC}}{2} = a\sqrt 2 \). Do đó \({S_{MNPQ}} = \frac{1}{2}.MP.NQ = \frac{1}{2}.a\sqrt 2 .a\sqrt 2  = {a^2}\).

Đáp án: a) Sai;b) Đúng;    c) Đúng;d) Đúng.