Mặt cầu tâm I bán kính R > 0 là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R

20/22

Mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R > 0\)là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách \(I\) một khoảng bằng \(R\). Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), đơn vị trên hệ trục là centimet, một tổ kiến có bề mặt là một mặt cầu tâm là gốc tọa độ và bán kính \(R = 6{\rm{cm}}\), ở điểm \(A\left( {20;0;0} \right)\) có \(10\) miếng mồi và ở điểm \(B\left( {0;20;0} \right)\) có \(3\) miếng mồi. Một con kiến trên bề mặt tổ, mỗi lần đi đến \(A\) hoặc \(B\) tha đúng một miếng mồi về tổ. Hỏi tổng quãng đường ngắn nhất con kiến đó đi là bao nhiêu centimet để con kiến tha hết \(13\) miếng mồi về tổ (kết quả làm tròn hàng đơn vị)?

Giải thích

Đáp án: 369.

Dễ thấy, \(A\left( {20;0;0} \right)\) và \(B\left( {0;20;0} \right)\) đều thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên đường đi ngắn nhất từ một điểm trên mặt cầu đến \(A\) (hoặc \(B\)) nằm trong mặt phẳng .

Đưa bài toán về hệ tọa độ \(Oxy\) với đường tròn tâm \(O\), bán kính \(6{\rm{cm}}\) và \(A\left( {20;0} \right)\); \(B\left( {0;20} \right)\).

Mặt cầu tâm I bán kính R > 0 là tập hợp tất cả các điểm trong không gian cách I một khoảng bằng R (ảnh 1)

Để tổng quãng đường ngắn nhất, con kiến phải xuất phát và trở về mặt tổ tại điểm trên mặt cầu gần \(A\) và \(B\) nhất, lần lượt là các điểm \(M\left( {6;0} \right)\) và \(N\left( {0;6} \right)\).

Giả sử, con kiến sẽ lần lượt lấy các miếng mồi ở \(A\) rồi đến các miếng mồi ở \(B\). Tuy nhiên, khi lấy miếng mồi thứ \(10\) ở \(A\), con kiến sẽ về một điểm khác trên mặt tổ thay vì quay về \(M\) rồi đi theo đường cung tròn để đến \(N\).

Tổng quãng đường sẽ ngắn nhất khi con kiến mang miếng mồi thứ \(10\) về tổ tại điểm chính giữa cung tròn là \(P\), và từ đây đến \(B\) để lần lượt lấy \(3\) miếng mồi còn lại:

+ Tổng quãng đường để lấy \(10\) miếng mồi ở \(A\): \({T_1} = MA \times 9 \times 2 + MA + PA\).

+ Tổng quãng đường để lấy \(3\) miếng mồi ở \(B\): \({T_2} = PB + NB + NB \times 2 \times 2\).

Do đó: \({T_{\min }} = {T_1} + {T_2} = 19MA + 5NB + PA + PB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_P} = 6 \times \cos 45^\circ = 3\sqrt 2 \\{y_P} = 6 \times \sin 45^\circ = 3\sqrt 2 \end{array} \right. \Rightarrow P\left( {3\sqrt 2 ;3\sqrt 2 } \right)\)

\( \Rightarrow PA = PB = \sqrt {{{\left( {20 - 3\sqrt 2 } \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 2 - 0} \right)}^2}} = 2\sqrt {109 - 30\sqrt 2 } \) và \(MA = NB = \sqrt {{{\left( {20 - 6} \right)}^2}} = 14\).

Vậy \({T_{\min }} = 19 \times 14 + 5 \times 14 + 2\sqrt {109 - 30\sqrt 2 } + 2\sqrt {109 - 30\sqrt 2 } \approx 369{\rm{cm}}\).