Mặt cầu \[\left( S \right

39/42

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu \[\left( S \right)\] có phương trình \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {a + 4b} \right)x + 2\left( {a - b + c} \right)y + 2\left( {b - c} \right)z + d = 0\] có tâm \[I\]nằm trên mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\]cố định. Biết rằng \[4{\rm{a}} + b - 2c = 4\]. Tìm khoảng cách từ điểm \[D\left( {1;\,2;\, - 2} \right)\] đến mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\].

\(\frac{1}{{\sqrt {314} }}\).

\(\frac{9}{{\sqrt {15} }}\).

\(\frac{{15}}{{\sqrt {23} }}\).

\(\frac{1}{{\sqrt {915} }}\).

Giải thích

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm \[I\left( {a + 4b\,;\, - a + b - c\,;\, - b + c} \right)\].

Giả sử mặt phẳng \[\left( \alpha \right)\] có phương trình \[Ax + By + Cz + D = 0\].

Vì \[I \in \left( \alpha \right)\] nên ta có \[A\left( {a + 4b} \right) + B\left( { - a + b - c} \right) + C\left( { - b + c} \right) + D = 0\]

\[ \Leftrightarrow \left( {A - B} \right)a + \left( {4{\rm{A}} + B - C} \right)b + \left( { - B + C} \right)c = - D\] (1).

Theo bài ra ta có \[4{\rm{a}} + b - 2c = 4\] (2).

Đồng nhất (1) và (2) ta có hệ phương trình\[\left\{ \begin{array}{l}A - B = 4\\4{\rm{A}} + B - C = 1\\ - B + C = - 2\\D = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = - \frac{1}{4}\\B = - \frac{{17}}{4}\\C = - \frac{{25}}{4}\\D = - 4\end{array} \right.\]

Suy ra \[\left( \alpha \right)\] có phương trình \[x + 17y + 25z + 16 = 0\].

Vậy, khảng cách từ điểm \[D\left( {1\,;\,2 & ;\, - 2} \right)\] đến \[\left( \alpha \right)\] bằng

\[d\left( {D,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {1 + 17 \cdot 2 + 25 \cdot \left( { - 2} \right) + 16} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{17}^2} + {{25}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {915} }}\]. Chọn D.