Mặt cắt của một cửa hầm có dạng hình phẳng giới hạn bởi một parabol và đường thẳng nằm ngang như hình vẽ. Tính diện tích của cửa hầm.

Chon hệ tọa độ Oxy như hình vẽ.

Giả sử \((P):y = a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\).

Vi \((P)\) đi qua các điểm \((0;0),(6;0),(3;6)\) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = 0}\\{36a + 6b = 0}\\{9a + 3b = 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a =  - \frac{2}{3}}\\{b = 4}\\{c = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy (P): \(y =  - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\).

Bài toán trở thành tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(y =  - \frac{2}{3}{x^2} + 4x\), trục hoành và hai đường thẳng \({\rm{x}} = 0,{\rm{x}} = 6\).

Diện tích cần tính là: \(S = \int_0^6 {\left| { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right|} dx = \int_0^6 {\left( { - \frac{2}{3}{x^2} + 4x} \right)} dx = \left. {\left( { - \frac{{2{x^3}}}{9} + 2{x^2}} \right)} \right|_0^6 = 24\;{{\rm{m}}^2}\)

Vậy diện tích của cửa hầm là \(24\;{{\rm{m}}^2}\).