Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành
43/54
Manhattanhenge (Hình 1) là một sự kiện diễn ra khi Mặt Trời mọc hoặc khi Mặt Trời lặn nằm thẳng hàng với các tuyến phố Đông - Tây thuộc mạng lưới đường phố chính tại quận Manhattan của thành phố New York. Khi mặt trời lặn, tia sáng song song mặt đất lệch một góc khoảng \(38^\circ \) so với hướng tây (Hình 2).
Giả sử mặt tiền các tòa nhà hai bên đường nằm trong 2 mặt phẳng song song cách nhau \(30\)m và vuông góc với mặt đất. Biết rằng mặt phẳng phía bắc đi qua gốc \(O\) của hệ trục \(Oxyz\), với tia \(Oz\) vuông góc với mặt đất và hướng lên trên. Phương trình mặt phẳng thứ hai có dạng \(\left( Q \right):x + ay + bz + c = 0\) với \(c = \frac{m}{{\sin n^\circ }}\). Tính \(m + n\).
Gọi \(A,B\) là giao điểm của mp \(\left( Q \right)\) với trục \(Ox\) và \(Oy\), \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(AB\).
Vì khoảng cách giữa hai mặt phẳng bằng \(30\)m nên \(OH = 30\).
Theo giả thiết ta có góc \(\widehat {OAH} = 38^\circ \) nên khi đó \(OA = \frac{{OH}}{{\sin 38^\circ }} = \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}\).
\({x_H} = - OH.\cos 52^\circ = - 30.\cos 52^\circ \), \({y_H} = - OH\cos 38^\circ = - 30\cos 38^\circ \).
Tọa độ điểm \(A\left( { - \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }};\,0\,;\,0} \right)\), \(H\left( { - 30\cos 52^\circ ;\, - 30\cos 38^\circ ;0} \right)\) và chọn một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;\,\frac{{\cos 38^\circ }}{{\cos 52^\circ }}\,;\,0} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đi qua \(A\) vuông góc \(OH\) nhận \(\overrightarrow n \) làm véc tơ pháp tuyến có phương trình:
\(\left( {x + \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }}} \right) + \frac{{\cos 38^\circ }}{{\cos 52^\circ }}y = 0 \Leftrightarrow x + \frac{{\cos 38^\circ }}{{\cos 52^\circ }}y + \frac{{30}}{{\sin 38^\circ }} = 0\).
Vậy \(m + n = 68\).
Đáp án: 68.