Máng trượt nước cao nhất thế giới là máng trượt Verruckt trong công viên nước Schlitterbahn – Mỹ. Máng trượt này có độ cao từ đỉnh khoảng 50 m so với mặt đất (tham khảo hình 5).
18/22
Máng trượt nước cao nhất thế giới là máng trượt Verruckt trong công viên nước Schlitterbahn – Mỹ.
Máng trượt này có độ cao từ đỉnh khoảng \(50m\) so với mặt đất (tham khảo hình 5). Gắn hệ trục với một tỉ lệ nhất định thì hình ảnh máng trượt được mô phỏng theo hình 6. Biết rằng, theo mô phỏng trong hình 6, máng trượt là hình ảnh của một đồ thị hàm bậc ba có dạng \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).
Điểm \(B\left( {5;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\) có tung độ bằng \(5\) và đi qua điểm \(C\left( {15;\frac{1}{2}} \right)\).
Tại các điểm có hoành độ lần lượt là \(1,5\); \(3\); \(7\); \(8,5\); \(10\); \(11,25\); \(12,5\); \(13,75\); \(15\) các kỹ sư thiết kế các cột đỡ cho cây cầu (cột đỡ là các đường nét đứt như hình 6, biết các đường đó vuông góc với \(Ox\)). Tính tổng chiều cao của các cột đỡ theo tỉ lệ đã cho trong hình 6? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Đáp án: 12,5
Hàm số đã cho có dạng \(y = f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).
Đạo hàm của hàm số là \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Đồ thị cắt trục tung tại điểm \(A\) có tung độ bằng \(5\) \( \Rightarrow f(0) = 5 \Rightarrow d = 5\).
Điểm \(B\left( {5;0} \right)\) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số. Suy ra: \(f(5) = 0\) và \(f'(5) = 0\).
\(f(5) = 0\)\( \Rightarrow 125a + 25b + 5c + 5 = 0\) (1)
\(f'(5) = 0\)\( \Rightarrow 75a + 10b + c = 0\) (2)
Đồ thị đi qua điểm \(C\left( {15;\frac{1}{2}} \right)\). Ta có: \(f(15) = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow 3375a + 225b + 15c + 5 = \frac{1}{2}\) (3)
Ta có hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{25a + 5b + c = - 1\quad (1)}\\{75a + 10b + c = 0\quad (2)}\\{3375a + 225b + 15c = - \frac{9}{2}\quad (3)}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \frac{{13}}{{1000}}\\b = \frac{{33}}{{100}}\\c = - \frac{{93}}{{40}}\end{array} \right.\)
Vậy hàm số mô phỏng máng trượt là: \(f(x) = - \frac{{13}}{{1000}}{x^3} + \frac{{33}}{{100}}{x^2} - \frac{{93}}{{40}}x + 5\).
Tiếp theo, ta tính chiều cao của các cột đỡ tại các hoành độ đã cho: \(1,5\); \(3\); \(7\); \(8,5\); \(10\); \(11,25\); \(12,5\); \(13,75\); \(15\).
Hoành độ \(x\) | Chiều cao cột đỡ \(f(x)\) |
\(1,5\) | \(f(1,5) = 2,211125\) |
\(3\) | \(f(3) = \frac{{161}}{{250}}\) |
\(7\) | \(f(7) = \frac{{109}}{{250}}\) |
\(8,5\) | \(f(8,5) = \frac{{8771}}{{8000}}\) |
\(10\) | \(f(10) = \frac{7}{4}\) |
\(11,25\) | \(f(11,25) = \frac{{1075}}{{512}}\) |
\(12,5\) | \(f(12,5) = \frac{{135}}{{64}}\) |
\(13,75\) | \(f(13,75) = \frac{{833}}{{512}}\) |
\(15\) | \(f(15) = \frac{1}{2}\) |
Tổng chiều cao của các cột đỡ là:
\(h = f(1,5) + f(3) + f(7) + f(8,5) + f(10) + f(11,25) + f(12,5) + f(13,75) + f(15) = \frac{{7983}}{{640}}\)
\( \Rightarrow h \approx 12,5\).
Vậy tổng chiều cao của các cột đỡ theo tỉ lệ khoảng \(h \approx 12,5\).