Mái vòm của một đường hầm có hình bán elip. Biết elip có tiêu cự 8 m và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu cự bằng 10 m .
19/22
Mái vòm của một đường hầm có hình bán elip. Biết elip có tiêu cự \(8m\) và tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu cự bằng \(10m\). Gọi \(h\) là chiều cao của mái vòm tại điểm cách tâm của đường hầm \(2m\). Khi đó \(h = \frac{{a\sqrt b }}{c}\) với \(a,b,c\) là các số nguyên dương thì giá trị của biểu thức \(T = a + b + 2c\) bằng bao nhiêu?
Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {a > b > 0} \right)\)
Elip có tiêu cự \(8m\) nên \(2c = 8 \Rightarrow c = 4\)
Vì tổng các khoảng cách từ mỗi điểm trên elip đến hai tiêu cự bằng \(10m\) nên \(2a = 10 \Rightarrow a = 5\)
Do đó \({b^2} = {a^2} - {c^2} = {5^2} - {4^2} = 9 \Rightarrow b = 3\)
Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),
Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 21\\c = 5\end{array} \right. \Rightarrow T = 3 + 21 + 2.5 = 34\).