Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ O x y z với đơn vị là mét với mặt phẳng ( R ) : z + 1 = 0 là mặt đất.

22/22

Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất. Một bức tường là mặt phẳng \[(P):x + y - 2\sqrt 2 = 0\] và mái nhà lợp lá của ông là mặt phẳng \[(Q):x - z + \sqrt 2 = 0.\] Ông F muốn đặt một bóng đèn tròn để chiếu sáng ban đêm, sau khi cố định bóng đèn tại vị trí \[A(1; - 1;1),\] ông nối dây điện thẳng dài từ bóng đèn đến vị trí một khoen móc đặt tại \[C\] trên mái nhà \[(Q)\] rồi luồn dây điện thẳng đến ổ cắm tại vị trí \[B\] nằm trên bức tường \[(P).\] Sau khi hoàn thành và đo đạc thì ông F thấy tam giác \[ABC\] là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q).$ Tính chiều cao mét của khoen móc \[C\] so với mặt đất. (Làm tròn đến hàng phần chục)

$Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất (ảnh 1)$

Giải thích

Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng $(P),(Q).$

Ta có: ${\vec n_P} = (1;1;0),{\vec n_Q} = (1;0; - 1) \Rightarrow {\vec n_\alpha } = {\vec n_Q} \times {\vec n_P} = (1; - 1;1) \Rightarrow (\alpha ):x - y + z - 3 = 0.$

Gọi $H,K$ lần lượt hình chiếu vuông góc của $A$ lên $(P),(Q).$ Theo đề bài, ta có

$AH = d(A,(P)) = 2;AK = d(A,(Q)) = 1;\cos \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = \frac{{\left| {{{\vec n}_P}.{{\vec n}_Q}} \right|}}{{|{{\vec n}_P}|.|{{\vec n}_Q}|}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\widehat {(P),(Q)}} \right) = 60^\circ .$

Gọi $a = (\alpha ) \cap (P),b = (\alpha ) \cap (Q),E = a \cap b \Rightarrow E \in (P) \cap (Q).$ Khi đó, trong mặt phẳng $(\alpha )$ ta có tứ giác $HAKE$ như hình vẽ.

$Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất (ảnh 2)$

Xét phép quay tâm $A$ góc quay $ - 60^\circ $ biến điểm $M \in a$ thành $M' \in b$.

Đặt $\widehat {MAH} = \alpha \Rightarrow \widehat {M'AK} = 120^\circ - \widehat {MAH} - \widehat {MAM'} = 60^\circ - \alpha $

Xét $\Delta MAH$ vuông tại $H$, có: $MA = \frac{{AH}}{{\cos \alpha }} = \frac{2}{{\cos \alpha }}$.

Xét $\Delta M'AK$vuông tại $K$, có: $AM' = \frac{{AK}}{{\cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)}} = \frac{1}{{\cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)}}$.

Mà $AM = AM' \Leftrightarrow \cos \alpha = 2\cos \left( {60^\circ - \alpha } \right)$

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos \alpha = 2\left( {\cos 60^\circ .\cos \alpha + \sin 60.\sin \alpha } \right)\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin \alpha = 0\\ \Rightarrow \alpha = 0\end{array}\]

Vậy $M \equiv H$. Vậy $\Delta ABC$ đều $ \Rightarrow B \equiv H$ và thực hiện phép quay tâm $A$, góc quay $ - 60^\circ $ biến điểm $H$ thành điểm $C.$

$Mái nhà tranh của ông F được đặt vào trong hệ trục tọa độ \[Oxyz\] với đơn vị là mét với mặt phẳng \[(R):z + 1 = 0\] là mặt đất (ảnh 3)$

Suy ra $C$ thuộc mp$(\beta )$ là mặt phẳng trung trực của $AH$ hay mặt phẳng cách đều $A$ và $(P).$

Gọi $d$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $(P).$ Khi đó: $d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right.$

$B = d \cap (P) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y - 2\sqrt 2 = 0\\x = 1 + t\\y = - 1 + t\\z = 1\end{array} \right. \Rightarrow B(1 + \sqrt 2 ;\sqrt 2 - 1;1).$

Gọi $M$ là trung điểm

Tọa độ của $C$ là nghiệm của hệ phương trình là phương trình của 3 mặt phẳng $(Q),(\alpha ),(\beta ).$

$\left\{ \begin{array}{l}x - z + \sqrt 2 = 0\\x - y + z - 3 = 0\\x + y - \sqrt 2 = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \sqrt 2 - 1\\z = \sqrt 2 + 1\end{array} \right. \Rightarrow C\left( {1;\sqrt 2 - 1;\sqrt 2 + 1} \right).$

Vậy chiều cao mét của khoen móc \[C\] so với mặt đất là

$h = d(C;(R)) = \frac{{|{z_C} + 1|}}{1} = \left| {\sqrt 2 + 1 + 1} \right| = 2 + \sqrt 2 \approx 3,4{\rm{ m}}{\rm{.}}$