Mã tại ô D4 và một quân Vua tại ô F6. Quy ước rằng trong trò chơi này, hai quân cờ không ăn nhau. Trò chơi được tiến hành như sau: Thông: Thực hiện hành trình 4 bước đi sao cho các ô đi qu
17/22
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Mã tại ô D4 và một quân Vua tại ô F6. Quy ước rằng trong trò chơi này, hai quân cờ không ăn nhau. Trò chơi được tiến hành như sau:
Thông: Thực hiện hành trình 4 bước đi sao cho các ô đi qua trong 3 bước đầu không trùng nhau và sau bước thứ 4 Mã phải quay về lại đúng vị trí D4 ban đầu.
Nghĩa: Thực hiện hành trình 3 bước đi và sau bước thứ 3 Vua phải quay về lại đúng vị trí F6 ban đầu.
Trình tự: Hai quân di chuyển xen kẽ nhau, bắt đầu bằng Mã. Cụ thể: Mã đi bước 1 tiếp đến Vua đi bước 1, Mã đi bước 2 tiếp đến Vua đi bước 2,. cho đến khi cả hai hoàn tất hành trình.
Xác suất để trong suốt quá trình di chuyển trên, có ít nhất một thời điểm Mã và Vua cùng đứng trên một ô cờ có dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\)\(\left( {a,b \in {\mathbb{N}^*}} \right)\). Hãy tính giá trị của \(b - 5a\).
Cách di chuyển của quân Mã: Mã di chuyển theo đường chéo của hình chữ nhật 2 × 3 ô vuông (hoặc 3 × 2 ô vuông).
Cách di chuyển của quân Vua: Vua có thể di chuyển sang bất kỳ ô liền kề chung cạnh hoặc chung đỉnh xung quanh nó theo hướng ngang, dọc hoặc chéo.
Đáp án: 71.
Xác định không gian mẫu:
+ Số cách để sau 4 bước đi, Mã quay về ô D4 (Bước 3 và 4 chỉ có \(1\) cách đi để quay về ô D4):
Bước 1 có \(8\) cách đi.
Bước 2 có \(6\) cách đi.
Trừ ra \(4\) cách đi Mã vượt khỏi giới hạn bàn cờ.
\( \Rightarrow \) Có \(8 \times 6 - 4 = 44\) cách đi.
+ Số cách để sau 3 bước đi, Vua quay về ô F6 (Bước 3 chỉ có \(1\) cách đi để quay về ô F6):
Vua đi ngang hoặc dọc: Bước 1 có \(4\) cách đi, Bước 2 có \(4\) cách đi.
Vua đi chéo: Bước 1 có \(4\) cách đi, Bước 2 có \(2\) cách đi.
\( \Rightarrow \) Có \(4 \times 4 + 4 \times 2 = 24\) cách đi.
+ Số phần tử không gian mẫu: \(44 \times 24 = 1056\) cách đi.
Xác định các trường hợp thuận lợi:
Mã và Vua có thể cùng đứng ở các ô E5, E6, E7, F5, G5, G7.
+ Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6/F5:
Mã: Bước 2 có có \(6\) cách đi.
Vua: Bước 2 có có \(4\) cách đi.
\( \Rightarrow \) Có \(\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48\) cách đi.
+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:
Mã: Bước 1 có \(2\) cách đi.
Vua: Bước 2 có \(2\) cách đi.
\( \Rightarrow \) Có \(\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16\) cách đi.
+ Mã đi Bước 2 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E5/E7/G5/G7:
Mã: Bước 1 có \(2\) cách đi.
Vua: Bước 1 có \(2\) cách đi.
\( \Rightarrow \) Có \(\left( {2 \times 2} \right) \times 4 = 16\) cách đi.
+ Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6/F5:
Mã: Bước 1 có \(6\) cách đi.
Vua: Bước 1 có \(4\) cách đi.
\( \Rightarrow \) Có \(\left( {6 \times 4} \right) \times 2 = 48\) cách đi.
+ Các trường hợp tính trùng:
Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô E6, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô F5.
Mã đi Bước 1 và Vua đi Bước 1 cùng đứng ở ô F5, sau đó Mã đi Bước 3 và Vua đi Bước 2 cùng đứng ở ô E6.
Do đó, có \(48 + 16 + 16 + 48 - 2 = 126\) cách đi thỏa mãn.
Xác suất cần tìm: \(\frac{{126}}{{1056}} = \frac{{21}}{{176}} = \frac{a}{b} \Rightarrow b - 5a = 176 - 5 \times 21 = 71\).