M ( x ; y ; z ) là điểm trên mặt phẳng ( O y z ) sao cho biểu thức P = − 2 M A 2 − M B 2 − 3 M C 2 đạt giá trị lớn nhất. Khi đó x + y − z bằng

82/120

\(M\left( {x;y;z} \right)\) là điểm trên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)sao cho biểu thức \[P = - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2}\] đạt giá trị lớn nhất. Khi đó \(x + y - z\) bằng

\( - 5\).

\( - \frac{{17}}{6}\).

\(5\).

\(\frac{{13}}{6}\).

Giải thích

Xét điểm \(I\) thỏa mãn \(2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \vec 0\). Theo Câu 81, ta có \(I\left( {\frac{{13}}{6}; - \frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

Khi đó, \[P = - 2M{A^2} - M{B^2} - 3M{C^2} = - \left( {2M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}} \right)\]

\[ = - \left[ {2{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)}^2} + {{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)}^2} + 3{{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)}^2}} \right]\]

\[ = - \left[ {6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {2\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right) + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}} \right]\]

\[ = - \left[ {6M{I^2} + 2I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}} \right]\]

Vì I, A, B, C cố định nên để \(P\) đạt giá trị lớn nhất thì \( - 6M{I^2}\) đạt giá trị lớn nhất.

Suy ra \(MI\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Do đó \(M\) là hình chiếu của \(I\) lên mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\)\( \Rightarrow M\left( {0; - \frac{8}{3};\frac{7}{3}} \right)\).

Vậy \(x + y - z = 0 - \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = - 5\). Chọn A.