Lúc 7 giờ sáng, An đi từ nhà đến trường bằng xe đạp điện với vận tốc trung bình 13 km/h theo đường đi A đến B đến C đến D đến E như trong hình. Nếu có 1 con đường thẳng từ A đến E và đi theo
12/13
1) Lúc 7 giờ sáng, An đi từ nhà đến trường bằng xe đạp điện với vận tốc trung bình \(13\) km/h theo đường đi \(A \to B \to C \to D \to E\) như trong hình. Nếu có 1 con đường thẳng từ \(A\) đến \(E\) và đi theo con đường đó với vận tốc trung bình \(13\) km/h. Bạn An sẽ tới trường lúc mấy giờ (làm tròn đến phút) (hình minh họa)?
2) Cho góc \(xAy.\) Trên tia \(Ax\) lấy hai điểm \(B\) và \(C\) sao cho \(AB = 8\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\) \(AC = 15\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\) Trên tia \(Ay\) lấy hai điểm \(D\) và \(E\) sao cho \(AD = 10\;{\rm{cm}}{\rm{,}}\) \(AE = 12\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
a) Chứng minh ΔABE∽ΔADC.
b) Chứng minh \(AB \cdot DC = AD \cdot BE,\) sau đó tính \(DC\) biết \(BE = 10\;{\rm{cm}}{\rm{.}}\)
c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(BE\) và \(CD.\) Chứng minh rằng \(IB \cdot IE = ID \cdot IC.\)
Hướng dẫn giải
1)
Gọi \(F\) là giao điểm của \(AB\) và \(ED.\)
Quan sát đường đi của bạn An theo hình vẽ thì đó là tứ giác \(BCDF,\) tứ giác này có \(\widehat {B\,} = \widehat {C\,} = \widehat {D\,} = 90^\circ \) nên là hình chữ nhật.
Mà \(CD = CB = 300\) m nên hình chữ nhật \(BCDF\) là hình vuông.
Do đó \(BC = CD = DF = FB = 300\) (m) và \(\widehat {BFD} = 90^\circ .\)
Ta có \(AF = AB + BF = 900 + 300 = 1\,\,200\) (m); \(EF = FD + DE = 300 + 200 = 500\) (m).
Áp dụng định lí Pythagore cho \(\Delta AEF\) vuông tại \(F\) ta có:
\(A{E^2} = A{F^2} + E{F^2}\)\( = 1\,\,{200^2} + {500^2} = 1{\rm{ }}690{\rm{ }}000.\)
Suy ra \(AE = \sqrt {1{\rm{ }}690{\rm{ }}000} = 1\,\,300\) (m) \( = 1,3\) (km).
Thời gian đi hết quãng đường \(AE\) là: \(\frac{{1,3}}{{13}} = 0,1\) (giờ) \( = 6\) (phút).
Vậy bạn An đi từ nhà đến trường (bằng xe đạp điện) là lúc \(7\) giờ \(6\) phút.
2)
a) Xét \(\Delta ABE\) và \(\Delta ADC\) có:
\(\widehat {BAE}\) là góc chung;
\[\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}\,\,\left( {\frac{8}{{10}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}} \right).\]
Do đó ΔABE∽ΔADC (c.g.c).
b) Vì ΔABE∽ΔADC (câu a) nên \(\frac{{AB}}{{AD}} = \frac{{BE}}{{DC}}\)
Suy ra \(AB \cdot DC = AD \cdot BE.\)
Do đó \(DC = \frac{{AD \cdot BE}}{{AB}} = \frac{{10 \cdot 10}}{8} = 12,5{\rm{\;cm}}.\)
c) Vì ΔABE∽ΔADC (câu a) nên AEB^=ACD^ (hai góc tương ứng).
Xét \(\Delta CBI\) và \(\Delta EDI\) có:
\(\widehat {BCI} = \widehat {DEI}\) (do \(\widehat {AEB} = \widehat {ACD})\) và \(\widehat {BIC} = \widehat {DIE}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó ΔCBI∽ΔEDI (g.g).
Suy ra \(\frac{{IC}}{{IE}} = \frac{{IB}}{{ID}}\) (tỉ số cạnh tương ứng) nên \[IB \cdot IE = ID \cdot IC.\]