Lớp 12A có 40 học sinh, trong đó có 8 em tham gia Câu lạc bộ Toán học. Điểm thi học kỳ 1 môn Toán của cả lớp được thống kê trong bảng sau:

Lời giải

a) Mệnh đề: Đúng

Số phần tử của không gian mẫu (xếp 8 bạn thành hàng ngang): \(n(\Omega ) = 8! = 40320\).

Gọi \(A\) là biến cố "không có 2 học sinh nữ nào đứng cạnh nhau".

  Bước 1: Xếp 5 bạn nam, có 5! cách.

  Bước 2: 5 bạn nam tạo ra 6 khoảng trống (bao gồm cả 2 đầu). Xếp 3 bạn nữ vào 3 trong 6 khoảng trống đó để đảm bảo các nữ không đứng cạnh nhau, có \(A_6^3\) cách.

Số kết quả thuận lợi: \(n(A) = 5!.A_6^3 = 14400\).

Xác suất: \(P(A) = \frac{{14400}}{{40320}} = \frac{5}{{14}}\).

So sánh: Vì \(\frac{5}{{14}} \approx 0,357 > \frac{1}{3} \approx 0,333\), nên mệnh đề này đúng.

b) Mệnh đề: Đúng

Ta có giá trị đại diện cho các nhóm là: \(5,5;\;6,5;\;7,5;\;8,5;\;9,5\).

Điểm trung bình của lớp là:

\(\bar x = \frac{{5,5.2 + 6,5.3 + 7,5.8 + 8,5.15 + 9,5.12}}{{40}} = 8,3\)

Nhìn vào bảng, số học sinh có điểm chắc chắn nhỏ hơn 8 là tổng tần số của 3 nhóm đầu tiên: \(2 + 3 + 8 = 13\) (học sinh).

Vì \(8 < 8,3\) nên chắc chắn có ít nhất 13 học sinh này có điểm thấp hơn điểm trung bình.

c) Mệnh đề: Đúng

Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm bằng hiệu số giữa đầu mút phải của nhóm cuối cùng và đầu mút trái của nhóm đầu tiên.

Khoảng biến thiên \(R = 10 - 5 = 5\).

d) Mệnh đề: Sai

Số học sinh có điểm thi lớn hơn hoặc bằng 8 (thuộc nhóm \([8;9)\) và [9; 10] là: 15 + 12 = 27 học sinh.

Trong 27 học sinh này, có 8 học sinh thuộc CLB Toán học và \(27 - 8 = 19\) học sinh không thuộc CLB.

Số phần tử không gian mẫu (chọn 6 từ 27 học sinh): \(n(\Omega ) = C_{27}^6 = 296010\).

Gọi \(B\) là biến cố "có đúng 2 em của CLB Toán học". Ta chọn 2 em từ 8 em CLB và 4 em từ 19 em còn lại: \(n(B) = C_8^2.C_{19}^4 = 28.3876 = 108528\).

Xác suất: \(P(B) = \frac{{108528}}{{296010}} \approx 0,3666\).

So sánh: Vì \(0,3666 > \frac{1}{3}\), nên mệnh đề nói xác suất "nhỏ hơn \(\frac{1}{3}\)" là sai.