Lớp 12/1 có 25 bạn nam và 10 bạn nữ; lớp 12/2 có 20 bạn nam và 15 bạn nữ. Để chuẩn bị cho buổi sinh hoạt giao lưu với đơn vị kết nghĩa, Đoàn trường chọn ngẫu nhiên từ hai lớp trên mỗi lớp 2 h

Chọn a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng

Biến cố \(A\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng thuộc lớp 12/1”.

Biến cố \(B\): “Học sinh được bầu làm nhóm trưởng là nữ”.

a) Sai

Xác suất chọn 1 bạn nữ từ lớp 12/1 là: \[P(B|A) = \frac{{10}}{{35}} = \frac{2}{7}.\]

b) Đúng

Trường hợp 1: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/1. Xác suất: \[P(AB) = \frac{1}{2}.\frac{{10}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{7} = \frac{1}{7}\]

Trường hợp 2: Nhóm trưởng thuộc lớp 12/2. Xác suất: \[P(\bar AB) = \frac{1}{2}.\frac{{15}}{{35}} = \frac{1}{2}.\frac{3}{7} = \frac{3}{{14}}\]

Xác suất biến cố B: \[P(B) = \frac{1}{7} + \frac{3}{{14}} = \frac{{2 + 3}}{{14}} = \frac{5}{{14}}\].

c) Đúng

Biết nhóm trưởng là nữ, xác suất bạn đó đến từ lớp 12/1:

\[P(A|B) = \frac{{P({\rm{AB}})}}{{P(B)}} = \frac{{1/7}}{{5/14}} = \frac{2}{5}\].

d) Đúng

Trường hợp 1: Chọn 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/1 và 2 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{10}^1 \cdot C_{25}^1}}{{C_{35}^2}} = \frac{{10 \cdot 25}}{{595}} = \frac{{250}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (2 nam): \[\frac{{C_{20}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{190}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH1: \[{P_1} = \left( {\frac{{250}}{{595}} \cdot \frac{{190}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Trường hợp 2: Chọn 2 nam từ lớp 12/1 và 1 nữ, 1 nam từ lớp 12/2

Xác suất chọn từ lớp 12/1 (2 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất chọn từ lớp 12/2 (1 nữ, 1 nam): \[\frac{{C_{25}^2}}{{C_{35}^2}} = \frac{{300}}{{595}}\]

Xác suất bầu bạn nữ duy nhất này làm trưởng nhóm: \[\frac{1}{4}\]

Suy ra xác suất TH2: \[{P_2} = \left( {\frac{{300}}{{595}} \cdot \frac{{300}}{{595}}} \right) \cdot \frac{1}{4}\]

Xác suất để biến cố "Trưởng nhóm là nữ và 3 người còn lại là nam":

\[P = {P_1} + {P_2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{(250 \cdot 190) + (300 \cdot 300)}}{{{{595}^2}}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{{47500 + 90000}}{{354025}} = \frac{{137500}}{{1416100}} = \frac{{1375}}{{14161}}\].

Xác suất để 3 bạn còn lại là nam, biết rằng nhóm trưởng là nữ:

\[P = \frac{{\frac{{1375}}{{14161}}}}{{\frac{5}{{14}}}} = \frac{{1375}}{{14161}} \cdot \frac{{14}}{5} = \frac{{275 \cdot 14}}{{14161}} = \frac{{3850}}{{14161}}\].