Lợi nhuận khi bán được x đơn vị sản phẩm được tính bằng công thức P ( x ) = − 0 , 0008 x^ 2 + 10 , 4 x .

Ta có \(P\left( x \right) = \int {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right){\rm{d}}x =  - 0,0004{x^2} + 10,4x + C} \).

Lợi nhuận ban đầu chưa có nên \(P\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).

Vậy \(P\left( x \right) =  - 0,0004{x^2} + 10,4x\).

Ta có \(P\left( {50} \right) =  - 0,0004 \cdot {50^2} + 10,4 \cdot 50 = 519\) (triệu đồng).

Vậy lợi nhuận khi bán được \(50\) sản phẩm đầu tiên là \(519\) triệu đồng.

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(a\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^a {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^a {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^a =  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519\).

Theo đề ta có \( - 0,0004{a^2} + 10,4a - 519 > 517\)

\( \Leftrightarrow  - 0,0004{a^2} + 10,4a - 1036 > 0 \Leftrightarrow 100 < a < 25\,900\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(a\) là \(101\).

Sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ \(50\) lên \(55\) đơn vị sản phẩm là:

\(\int\limits_{50}^{55} {P'\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{50}^{55} {\left( { - 0,0008x + 10,4} \right)} \,{\rm{d}}x = \left. {\left( { - 0,0004{x^2} + 10,4x} \right)} \right|_{50}^{55} = 51,79\) (triệu đồng).

Đáp án:       a) Sai,         b) Đúng,     c) Sai,          d) Sai.