B = 1 + 2 + 3 + … + 100

= (1 + 100) + (2 + 99) + … + (50 + 51)

= 101.50

Để chứng minh A chia hết cho B ta chứng minh A chia hết cho 50 và 101.

A = 13 + 23 + … + 1003

A = (13 + 1003) + (23 + 993) + … + (503 + 513)

A = (1 + 100)(12 + 100 + 1002) + (2 + 99)(22 + 99.2 + 992) + … + (50 + 51).(502 + 50.51 + 512)

A = 101.(12 + 100 + 1002 + 22 + 99.2 + 992 + … + 502 + 50.51 + 512) ⋮ 101 (1)

Lại có:

A = (13 + 993) + (23 + 983) + … + (503 + 1003)

A = (1 + 99)(12 + 99 + 992) + (2 + 98)(22 + 2.98 + 982) + … + (503 + 1003)

A = 100.(12 + 99 + 992) + 100.(22 + 2.98 + 982) + … + (503 + 1003)

A = 100(12 + 99 + 992 + 22 + 2.98 + 982 + …) + (503 + 1003) ⋮ 50 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A chia hết cho 50 và 101.

Liệt kê các số nguyên tố nhỏ hơn 13