Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp A, xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là

17/235

Cho tập \(A = \left\{ {x\mid x \in \mathbb{N},10 \le x \le 50} \right\}\). Lấy ngẫu nhiên 3 số từ tập hợp \(A\), xác suất để ba số lấy được lập thành cấp số cộng là

\(\frac{{20}}{{533}}\)

\(\frac{{19}}{{533}}\)

\(\frac{1}{{26}}\)

\(\frac{{29}}{{533}}\)

Giải thích

Đáp án đúng là A

Phương pháp giải

Sử dụng mối liên hệ của ba số liền nhau trong một cấp số cộng. Sử dụng kiến thức về tổ hợp và xác suất có điều kiện.

Lời giải

Gọi \(a,b,c\) là ba số cần tìm theo thứ tự lập thành cấp số cộng \(\left( {a,b,c \in A} \right)\)

Suy ra có \(b = \frac{{a + c}}{2} \Leftrightarrow a + c = 2b\).

\( \Rightarrow \) Tổng \(\left( {a + c} \right)\) là số chẵn, và khi có \(\left( {a + c} \right)\) là số chẵn thì chỉ có duy nhất 1 giá trị \(b\) thỏa mãn.

Tập hợp \(A = \left\{ {10;11;12; \ldots ;48;49;50} \right\}\) có 41 phần tử gồm 21 phần tử số chăn và 20 phần tử số lẻ.

\(n\left( {\rm{\Omega }} \right) = C_{41}^3\)

TH1: \(a,c\) là các số chẵn có \(C_{21}^2\) cách chọn.

TH2: \(a,c\) là các số lẻ có \(C_{20}^2\)

\( \Rightarrow \) Số cách lấy ngẫu nhiên ba số từ tập hợp \(A\) lập được thành cấp số cộng là

\(n\left( A \right) = C_{21}^2 + C_{20}^2\)

Vây xác suất cần tìm là: \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( {\rm{\Omega }} \right)}} = \frac{{C_{21}^2 + C_{20}^2}}{{C_{41}^3}} = \frac{{20}}{{533}}\)