Lấy điểm M ∈ ( O x y ) sao cho M A ^2 + M B^ 2 + M C ^2 đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó tọa độ điểm M là:

84/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 83 đến 84

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {2;\, - 1\,;\,1} \right)\), \(B\left( { - 1\,;\,3\,;\, - 1} \right)\), \(C\left( {5\,;\, - 3\,;\,4} \right)\).

Lấy điểm \(M \in \left( {Oxy} \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất, khi đó tọa độ điểm \(M\) là:

\(\left( {0;0\,;\,\frac{4}{3}} \right)\).

\(\left( {2;\frac{1}{3}\,;\,0} \right)\).

\(\left( {2; - \frac{1}{3}\,;\,0} \right)\).

\(\left( { - 2;\frac{1}{3}\,;\,0} \right)\).

Giải thích

Nhận thấy 3 điểm A, B, C tạo thành một tam giác.

Gọi \(G\)là trọng tâm của \(\Delta ABC\), khi đó tọa độ \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) và \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \).

Ta có \({\overrightarrow {MA} ^2} + {\overrightarrow {MB} ^2} + {\overrightarrow {MC} ^2} = 3{\overrightarrow {MG} ^2} + {\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\).

Vì \({\overrightarrow {GA} ^2} + {\overrightarrow {GB} ^2} + {\overrightarrow {GC} ^2}\)không đổi nên \(M{A^2} + M{B^2} + M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(MG\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Với điểm \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) cố định và điểm \(M\)bất kì, \(M \in \left( {Oxy} \right)\).

Để \(MG\)đạt giá trị nhỏ nhất thì \(M\) là hình chiếu của \(G\left( {2; - \frac{1}{3};\frac{4}{3}} \right)\) trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\).

Suy ra tọa độ \(M\left( {2; - \frac{1}{3}\,;\,0} \right)\). Chọn C.