Lập phương trình đường tròn \((C)\) biết: \((C)\) có tâm \(B(1;1)\) và cắt \(d:3x + 4y + 8 = 0\) tại \(M,N\) thoả mãn \(MN = 8\);

Gọi \(H\) là hình chiếu của \(B\) lên \(d:3x + 4y + 8 = 0\). Khi đó khoảng cách từ điểm

\(B\) đến đường thẳng \(d\) là \(BH = \frac{{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + 8|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 3\).

\(H\) là trung điểm của \(MN\) nên \(HM = 4\). Suy ra bán kính đường tròn \((C)\) là: \(R = \sqrt {B{H^2} + H{M^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5.\)

Vậy phương trình đường tròn \((C)\) là: \({(x - 1)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).