Lập phương trình đường thẳng đi qua \(A(2;3)\) và tạo với đường thẳng \(d:2x + y - 4 = 0\)

Gọi \(\Delta \)là đường thẳng đi qua \(A\) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_\Delta } = (a;b)\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\). Ta có: 

(Δ,d)=45°⇔cosn→Δ,n→d=cos45°⇔n→Δ,n→dn→Δ⋅n→d=22

Nếu \(b = 0\)thì \(a = 0\)(loại).

Nếu \(b \ne 0\)thì chia cả hai vế phương trình trên cho \({b^2}\)ta có: \(3{\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + 8 \cdot \frac{a}{b} - 3 = 0\)

Giải phương trình ta được \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3}\)hoặc \(\frac{a}{b} =  - 3\). Với \(\frac{a}{b} = \frac{1}{3},\)ta chọn \(a = 1,b = 3\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \(1(x - 2) + 3(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + 3y - 11 = 0\)

Với \(\frac{a}{b} =  - 3\) ta chọn \(a =  - 3,b = 1\). Suy ra phương trình đường thẳng \(d\)là: \( - 3(x - 2) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow  - 3x + y + 3 = 0.\)