Lập phương trình chính tắc của parabol (P) biết rằng, (P) đi qua điểm A(2; 4). Khi đó hãy tìm điểm M thuộc (P) và cách tiêu điểm của (P) một khoảng bằng 5.

Hướng dẫn giải

Phương trình chính tắc của (P) có dạng y² = 2px.

Do (P) đi qua điểm A(2; 4) nên ta có: 4² = 2p.2 ⇔ p = 4 .

Vậy phương trình chính tắc của (P) là: y² = 8x với tiêu điểm F(2; 0).

Ta còn viết phương trình (P) dưới dạng: \(x = \frac{{{y^2}}}{8}\).

Ta có:

Do điểm M thuộc (P) nên toạ độ của điểm M có dạng \(M\left( {\frac{{{t^2}}}{8};t} \right)\)

Từ giả thiết MF = 5 ta suy ra:

MF² = 25

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{{t^2}}}{8} - 2} \right)^2} + {t^2} = 25\\ \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{64}} - \frac{{{t^2}}}{2} + 4 + {t^2} = 25\\ \Leftrightarrow \frac{{{t^4}}}{{64}} + \frac{{{t^2}}}{2} - 21 = 0\,\,(*)\end{array}\)

Đặt t² = X (X ≥ 0) ta có:

(*) ⇔ \(\frac{{{X^2}}}{{64}} + \frac{X}{2} - 21 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}X = 24(TM)\\X = - 56(L)\end{array} \right.\)

Với X = 24 ⇔ \(t = \pm 2\sqrt 6 \)

Vậy có hai điểm M thoả mãn là \(M\left( {3;\,\, \pm 2\sqrt 6 } \right)\).