Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip đi qua điểm \

18/22

Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip đi qua điểm $M(2\sqrt 3 ;2)$ và $M$ nhìn hai tiêu điểm của Elip dưới một góc vuông.

Giải thích

Gọi phương trình chính tắc của elip $(E)$ là $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1(a > b > 0)$.

Gọi hai tiêu điểm $(E)$ là ${F_1}( - c;0),{F_2}(c;0)$.

Khi đó: ${\overrightarrow {MF} _1} = ( - c - 2\sqrt 3 ; - 2),\overrightarrow {M{F_2}} = (c - 2\sqrt 3 ; - 2)$.

Ta có: $M{F_1} \bot M{F_2} \Leftrightarrow {\overrightarrow {MF} _1} \cdot \overrightarrow {M{F_2}} = 0 \Leftrightarrow ( - c - 2\sqrt 3 )(c - 2\sqrt 3 ) + 4 = 0 \Leftrightarrow {c^2} = 16$.

Suy ra ${a^2} - {b^2} = 16 \Rightarrow {a^2} = 16 + {b^2}\left( * \right)$

Hơn nữa $(E)$ qua $M(2\sqrt 3 ;2)$ nên $\frac{{12}}{{{a^2}}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{12}}{{{b^2} + 16}} + \frac{4}{{{b^2}}} = 1($ do $(*))$ $ \Leftrightarrow 12{b^2} + 4{b^2} + 64 = {b^4} + 16{b^2} \Leftrightarrow {b^4} = 64 \Leftrightarrow {b^2} = 8$. Suy ra ${a^2} = {b^2} + {c^2} = 24$.

Vậy elip cần tìm có phương trình chính tắc $(E):\frac{{{x^2}}}{{24}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1$.

$Lập phương trình chính tắc của elip, biết Elip đi qua điểm \ (ảnh 1)$