Lập hàm tổng quát để tính tổng diện tích của dãy

109/120

Cho hình vuông \({C_1}\) có cạnh bằng \(1,{C_2}\) là hình vuông có các đỉnh là các trung điểm của cạnh hình vuông \({C_1}\). Tương tự, gọi \({C_3}\) là hình vuông có các đỉnh là trung điểm của các cạnh hình vuông \({C_2}\). Tiếp tục như vậy ta được một dãy các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n}, \ldots \)

\(Sn = 1 \times \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}}\).

\(Sn = 1 \times \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 + \frac{1}{2}}}\).

\(Sn = 1 \times \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}}\).

\(Sn = 1 \times \frac{{1 + {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 + \frac{1}{2}}}\).

Giải thích

Đáp án A

Diện tích của hình vuông \({C_1}\) là 1.

Độ dài đường chéo hình vuông \({C_1}\) là \(\sqrt 2 \).

Hình vuông \({C_2}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo hình vuông \({C_1}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích của hình vuông \({C_2}\) là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\)

Hình vuông \({C_3}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo hình vuông \({C_2}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích của hình vuông \({C_3}\) là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^4}\)

Hình vuông \({C_n}\) có cạnh bằng \(\frac{1}{2}\) đường chéo hình vuông \({C_{n - 1}}\).

\( \Rightarrow \) Diện tích của hình vuông \({C_n}\) là \({\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2\left( {n - 1} \right)}}\)

Do đó, dãy diện tích các hình vuông \({C_1},{C_2},{C_3}, \ldots ,{C_n}, \ldots \) lập thành cấp số nhân với số hạng đầu

\({u_1} = 1,q = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = \frac{1}{2}\).\( \Rightarrow Sn = 1 \times \frac{{1 - {{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}}{{1 - \frac{1}{2}}}\).