Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = − x^2 + 2x + 3 .

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

Toạ độ đỉnh \(I\): \({x_I} = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2 \cdot \left( { - 1} \right)}} = 1\); \({y_I} = - {1^2} + 2 \cdot 1 + 3 = 4 \Rightarrow I\left( {1;4} \right)\).

Trục đối xứng: đường thẳng \(x = 1\).

Hệ số \(a = - 1 < 0\) nên bề lõm của parabol hướng xuống dưới và hàm số đồng biến trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\) và nghịch biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).

Bảng biến thiên:

Giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\), đồ thị cắt \(Oy\) tại \(\left( {0;3} \right)\).

Cho \(y = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\), đồ thị cắt \(Ox\) tại \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {3;0} \right)\).

Điểm đối xứng với \(\left( {0;3} \right)\) qua trục đối xứng \(x = 1\) là \(\left( {2;3} \right)\).

Vẽ đồ thị: Đồ thị hàm số là một parabol có đỉnh \(I\left( {1;4} \right)\), nhận đường thẳng \(x = 1\) làm trục đối xứng, đi qua các điểm \(\left( { - 1;0} \right)\), \(\left( {0;3} \right)\), \(\left( {2;3} \right)\), \(\left( {3;0} \right)\) và quay bề lõm xuống dưới.