Kim cương là một khoáng sản quý, có rất nhiều giá trị và được sử dụng với nhiều mục đích khác nhau. Giá bán của một viên kim cương rất cao và phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố. Giả sử rằng giá b

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng viên kim cương là \(M\)\(\left( {M > 0} \right).\)

Vì giá bán của viên kim cương tỉ lệ với bình phương khối lượng của nó nên \(T = kM{}^2\)(\(k\) là hằng số và \(k > 0\)).

Khi cắt viên kim cương thành ba phần có khối lượng \(x;\,\,y;\,\,z\) với \(x + y + z = M\).

Giá bán của ba phần tương ứng là \(k{x^2};\,\,k{y^2};\,\,k{z^2}\).

Tổng giá bán của ba phần là \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} = k\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\).

Với mọi \(x;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} y;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} z\) ta có \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {y - z} \right)^2} \ge 0;\,\,\,{\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\).

Suy ra \({\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {y - z} \right)^2} + {\left( {x - z} \right)^2} \ge 0\)

\(2{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 2xy - 2yz - 2zx \ge 0\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2xy + 2yz + 2xz\)

\(3\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {x + y + z} \right)^2}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}}{3}\)

\({x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{{{M^2}}}{3}\)

Như vậy \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge k\frac{{{M^2}}}{3}\)hay \(k{x^2} + k{y^2} + k{z^2} \ge \frac{T}{3}\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \frac{M}{3}\).

Như vậy, khi chia viên kim cương thành ba phần bằng nhau thì giá bán giảm mạnh nhất và giảm ba lần.