Kí hiệu h(x) là chiều cao của một cây (tính theo mét) sau khi trồng x năm. Biết rằng sau năm đầu tiên, cây cao 2m. Trong 10 năm tiếp theo, cây phát triển với tốc độ h'(x) = 1/x (m/năm).

Đáp án:

Kể từ ngày trồng cây, cần ít nhất \(89\) tháng để cây có chiều cao không dưới \[4{\rm{ }}m\]

Sau \(10\) năm kể từ ngày trồng cây, trung bình mỗi năm chiều cao của cây tăng thêm là \(0,43\) mét. (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

Phương pháp giải: Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản, tìm hàm số \(h\left( x \right)\) với điều kiện \(h\left( 1 \right) = 2\).

Giải chi tiết:

Ta có \(h\left( x \right) = \smallint h'\left( x \right)dx = \smallint \frac{1}{x}dx = {\rm{ln}}\left| x \right| + C = {\rm{ln}}x + C\) (do \(x > 0\)).

Vì sau năm đầu tiên, cây cao \[2{\rm{ }}m\] nên \(h\left( 1 \right) = 2\), do đó \({\rm{ln}}1 + C = 2 \Rightarrow C = 2 \Rightarrow h\left( x \right) = {\rm{ln}}x + 2\).

Cây có chiều cao không dưới\[4{\rm{ }}m\]\( \Rightarrow h\left( x \right) \ge 4 \Rightarrow {\rm{ln}}x + 2 \ge 4 \Rightarrow {\rm{ln}}x \ge 2 \Rightarrow x \ge {e^2} \approx 7,389\) (năm).

Đổi \[7,389\] năm \( \approx 88,7\) tháng.

Vậy kể từ ngày trồng cây, cần ít nhất \(89\) tháng để cây có chiều cao không dưới \[4{\rm{ }}m.\]

Chiều cao của cây sau \(10\) năm kể từ ngày trồng là \(h\left( {10} \right) = {\rm{ln}}10 + 2 \approx 4,303\) (m)

Sau \(10\) năm kể từ ngày trồng cây, trung bình mỗi năm chiều cao của cây tăng thêm là:  \(\frac{{4,303}}{{10}} = 0,4303\) (m).