Kí hiệu ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong y = e^2x , trục hoành, trục tung và đường thẳng x = ln 4 . Đường thẳng x = k ( 0 < k < ln 4 ) chia ( H ) thành hai phần H1 , H2
79/100
Kí hiệu \((H)\) là hình phẳng giới hạn bởi đường cong \(y = {e^{2x}}\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \ln 4\).
Đường thẳng \(x = k\) \((0 < k < \ln 4)\) chia \((H)\) thành hai phần \({H_1},{H_2}\) như hình vẽ bên.
Khi quay \({H_1},{H_2}\) quanh trục hoành ta được hai khối tròn xoay có thể tích tương ứng là \({V_1},{V_2}\).
Giá trị của \(k\) bằng bao nhiêu để \({V_1} = 2{V_2}\)?
\(k = \ln 3\).
\(k = \frac{1}{2}\ln 3\).
\(k = \frac{1}{2}\ln 11\).
\(k = \frac{1}{4}\ln 11\).
Giải chi tiết:
Thể tích khối tròn xoay của \({H_1}\) và \({H_2}\) lần lượt là:
\[{V_1} = \pi \int_0^k {{{\left( {{e^{2x}}} \right)}^2}} dx,\]\[{V_2} = \pi \int_k^{\ln 4} {{{\left( {{e^{2x}}} \right)}^2}} dx.\]
Điều kiện \({V_1} = 2{V_2}\) cho:
\[\pi \int_0^k {{e^{4x}}} dx = 2\pi \int_k^{\ln 4} {{e^{4x}}} dx.\]
Rút gọn \(\pi \):
\[\int_0^k {{e^{4x}}} dx = 2\int_k^{\ln 4} {{e^{4x}}} dx.\]
Tính tích phân:
\[\int {{e^{4x}}} dx = \frac{1}{4}{e^{4x}}.\]
Thay cận:
\[\frac{1}{4}\left( {{e^{4k}} - 1} \right) = 2 \cdot \frac{1}{4}\left( {{e^{4\ln 4}} - {e^{4k}}} \right).\]
Suy ra:
\[{e^{4k}} - 1 = 2({4^4} - {e^{4k}})\]
\[ \Rightarrow 3{e^{4k}} = 33 \Rightarrow {e^{4k}} = 11.\]
Do đó:
\[4k = \ln 11 \Rightarrow k = \frac{1}{2}\ln 11.\]
Đáp án cần chọn: C.