Khuôn viên nhà bạn Thùy Dương có dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa
18/22
Khuôn viên nhà bạn Thùy Dương có dạng nửa hình tròn, trên đó người thiết kế phần để trồng hoa có dạng của một cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm và có trục đối xứng vuông góc với đường kính của nửa hình tròn, hai đầu mút của cánh hoa nằm trên nửa đường tròn và cách nhau một khoảng bằng 4 m. Phần còn lại của khuôn viên dành để trồng cỏ nhung Nhật. Biết các kích thước cho như hình vẽ, chi phí trồng hoa và cỏ nhung Nhật tương ứng là 250 000 đồng/m2 và 150 000 đồng/m2. Hỏi chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó hết bao nhiêu triệu đồng (làm tròn kết quả đến hàng phần chục)?
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ.
Xét parabol có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm \(\left( {2;4} \right)\): Phương trình \(\left( P \right)\) có dạng \(y = a{x^2}\).
Vì \(A\left( {2;4} \right) \in \left( P \right)\) nên \(4 = a \cdot {2^2} \Leftrightarrow a = 1 \Rightarrow \left( P \right):y = {x^2}\).
Xét \(\Delta OAB\) vuông tại \(B\), theo định lý Pythagore ta có:
\(O{A^2} = A{B^2} + O{B^2} = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20 \Rightarrow R = OA = 2\sqrt 5 \).
Phương trình đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(O\), bán kính \(R = 2\sqrt 5 \) là:
\({x^2} + {y^2} = 20\)\( \Rightarrow \left| y \right| = \sqrt {20 - {x^2}} \).
Diện tích phần trồng hoa là: \({S_1} = \int\limits_{ - 2}^2 {\left( {\sqrt {20 - {x^2}} - {x^2}} \right)} \,{\rm{d}}x\).
Diện tích trồng cỏ nhung Nhật là: \({S_2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2} - {S_1} = 10\pi - {S_1}\).
Tổng chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên đó là:
\(250\,000{S_1} + 150\,000{S_2} = 250\,000{S_1} + 150\,000\left( {10\pi - {S_1}} \right) \approx 5\,906\,351\)(đồng) \( \approx 5,9\) (triệu đồng).
Vậy chi phí để trồng hoa và trồng cỏ nhung Nhật trong khuôn viên nhà bạn Thùy Dương gần bằng 5,9 triệu đồng.
Đáp án: 5,9.