Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên) có dạng hình tròn đường kính AB
21/22
Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên) có dạng hình tròn đường kính \(AB\) bằng \(12\,{\rm{m}}\). Người ta trang trí khu vực này bằng hai đường parabol đối xứng nhau qua \(AB\), nằm trong hình tròn, đi qua các điểm \(A,\,B\) và có đình cách mép hình tròn \(1\,{\rm{m}}\). Phần giới hạn bởi hai parabol được trồng hoa với chi phí \(300\) nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gạch gốm sứ với chi phí \(900\) nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Chọn hệ trục \(Oxy\) sao cho \(O\) là trung điểm của đoạn \(AB\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\). Suy ra điểm \(I\) thuộc trục \(Oy\).
Parabol \(\left( P \right)\) nằm trên trục hoành có đỉnh là \(I\) thuộc trục \(Oy\) nên phương trình có dạng: \(y = a{x^2} + c\).
Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(I\left( {0;5} \right)\) nên \(c = 5\).
Do \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( {6;0} \right)\) nên \(0 = a \cdot {6^2} + 5 \Rightarrow a = - \frac{5}{{36}}\).
Suy ra \(\left( P \right)\): \(y = - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai parabol:
\({S_1} = 2\int\limits_{ - 6}^6 {\left( { - \frac{5}{{36}}{x^2} + 5} \right){\rm{d}}x} = 2\left. {\left( { - \frac{5}{{108}}{x^3} + 5x} \right)} \right|_{ - 6}^6 = 80\).
Diện tích phần lát gạch gốm sứ: \({S_2} = \pi \cdot {6^2} - {S_1} = 36\pi - 80\).
Tổng chi phí: \(T = {S_1} \cdot 0,3 + {S_2} \cdot 0,9\)\( = 80 \cdot 0,3 + \left( {36\pi - 80} \right) \cdot 0,9 \approx 54\) (triệu đồng).
Vậy tổng chi phí để hoàn thành khu vực này là \(54\) triệu đồng.
Đáp án: 54.