$Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \[AMD\] là trung điểm của đoạn thẳng \[AD.\] (ảnh 1)$

Chứng minh bổ đề: Cho tứ giác \(ABCD\) có \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}.\) Chứng minh tứ giác \(ABCD\) là tứ giác nội tiếp.

• Thật vậy, giả sử \(\Delta ABC\) có đường tròn ngoại tiếp tâm \(O\) và đường kính \(AK\) nên tứ giác \(ABCK\) nội tiếp, suy ra \(\widehat {ACB} = \widehat {AKB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB).\)

Mà \(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\) (giả thiết) nên \(\widehat {ADB} = \widehat {AKB}.\)\(\left( 1 \right)\)

⦁ Gọi \(F\) là giao điểm của \(AK\) và \(BD,\)\(F\) nằm trong đường tròn \(\left( O \right).\)

Xét \(\Delta AFD\) và \(\Delta BFK\) có: \(\widehat {AFD} = \widehat {BFK}\) (đối đỉnh) và \(\widehat {ADF} = \widehat {BKF}\) (chứng minh trên)

Do đó suy ra \(\frac{{AF}}{{BF}} = \frac{{DF}}{{KF}}\) nên \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}.\)

Xét \(\Delta DFK\) và \(\Delta AFB\) có: \(\frac{{AF}}{{DF}} = \frac{{BF}}{{KF}}\) và \[\widehat {DFK} = \widehat {AFB}\] (đối đỉnh)

Do đó suy ra \(\widehat {FDK} = \widehat {FAB}.\,\,\,\left( 2 \right)\)

⦁ Ta có \(\widehat {ABK}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\widehat {ABK} = 90^\circ ,\) do đó \(\Delta ABK\) vuông tại \(B,\) suy ra \(\widehat {FAB} + \widehat {AKB} = 90^\circ .\,\,\,\left( 3 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right),\,\,\left( 2 \right),\,\,\left( 3 \right)\) suy ra \(\widehat {ADB} + \widehat {FDK} = 90^\circ \) hay \(\widehat {ADK} = 90^\circ .\)

Khi đó \(\Delta ADK\) vuông tại \(D\) nên điểm \(D\) nằm trên đường tròn đường kính \(AK.\)

Suy ra tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AK.\)

Vì \(AB,\,\,AC\) là hai tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) cắt nhau tại \(A\) nên \(AO\) là tia phân giác của \(\widehat {BAC}.\) Suy ra \(\widehat {BAH} = \widehat {CAH}.\)

Lại có \(\widehat {CAH} = \widehat {DCB}\) (cùng phụ với \[\widehat {ACH})\] nên \(\widehat {BAH} = \widehat {DCB}.\)

Xét \[\Delta ABH\] và \(\Delta CDB\) có: \(\widehat {AHB} = \widehat {CBD} = 90^\circ \) và \(\widehat {BAH} = \widehat {DCB}.\)

Do đó (g.g). Suy ra \(\frac{{AB}}{{CD}} = \frac{{AH}}{{CB}}\). (3)

Ta có \(AO\) là đường trung trực của \(BC\) nên \(H\) là trung điểm của \(BC,\) suy ra \(CB = 2BH.\)

Mà \(M\) đối xứng với \(H\) qua \(B\) nên \(B\) là trung điểm của \(MH,\) suy ra \(MH = 2BH.\)

Do đó \(CB = MH.\)

Lại có \(AB = AC\) nên từ (3), ta có: \(\frac{{AC}}{{CD}} = \frac{{AH}}{{MH}}\) hay \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{CD}}{{MH}}.\)

Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta AHM\) có: \(\widehat {ACD} = \widehat {AHM} = 90^\circ \) và \(\frac{{AC}}{{AH}} = \frac{{CD}}{{MH}}.\)

Do đó (c.g.c). Suy ra \(\widehat {CDA} = \widehat {HMA}\) (hai góc tương ứng).

Từ bổ đề đã chứng minh ở trên, ta thấy tứ giác \(CDMA\) có \(\widehat {CDA} = \widehat {CMA}\) nên tứ giác \(CDMA\) nội tiếp. Suy ra \(\widehat {AMD} + \widehat {ACD} = 180^\circ \) (tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp).

Do đó \(\widehat {AMD} = 180^\circ - \widehat {ACD} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ .\)

Như vậy, \(\Delta AMD\) vuông tại \(M\) nên đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AMD\) có tâm là trung điểm của cạnh huyền \(AD.\)

Không gian mẫu của phép thử có số phần tử là