Khối lượng của một cá thể sinh vật X theo thời gian t tuần (t ≥ 0) cho bởi công thức f(t) = 0,1 + t^2 e^(-kt) (k ∈ R, đơn vị tính bằng microgam).

Hàm khối lượng: \(f\left( t \right) = 0,1 + {t^2}{e^{ - kt}}\).

\[f'\left( t \right) = {\left( {0,1} \right)^\prime } + {\left( {{t^2}} \right)^\prime } \cdot {e^{ - kt}} + {t^2} \cdot {\left( {{e^{ - kt}}} \right)^\prime }\]\( = 0 + 2t \cdot {e^{ - kt}} + {t^2} \cdot \left( { - k} \right) \cdot {e^{ - kt}}\)\( = \left( {2t - k{t^2}} \right){e^{ - kt}} = t\left( {2 - kt} \right){e^{ - kt}}\).

a) Đúng. Từ \(f'\left( 4 \right) = 0\), ta có:

\(4\left( {2 - k \cdot 4} \right){e^{ - 4k}} = 0\)\( \Leftrightarrow 2 - 4k = 0 \Leftrightarrow 4k = 2 \Leftrightarrow k = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}\).

b) Đúng. Khối lượng của cá thể sinh vật lớn nhất tại thời điểm \(t = 4\). Vậy \(f'\left( 4 \right) = 0\).

c) Sai.

d) Đúng.

Tiến trình thời gian:

+ Tại \(t = 4\): Cá thể ban đầu đẻ 10 con.

Số lượng lúc này: \(1{\rm{ }} + 10{\rm{ }} = 11\) cá thể.

+ Tại \(t = 6\): Cá thể mẹ chết (vì chỉ sống được đúng 6 tuần).

Số lượng còn lại: 10 cá thể (những con sinh ra ở tuần 4).

+ Tại \(t = 8\) (tức là 4 tuần sau khi thế hệ con ra đời): 10 cá thể con này bắt đầu sinh sản.

Mỗi con đẻ 10 con \( \Rightarrow 10 \times 10 = 100\) con mới.

Số lượng lúc này: \(10 + 100{\rm{ (con)}} = 110\) cá thể.

+ Tại \(t = 10\): 10 cá thể mẹ (sinh ra lúc \(t = 4\)) chết.

Số lượng còn lại: 100 cá thể.

+ Tại \(t = 12\): 100 cá thể này sinh sản.

Số lượng đẻ thêm: \(100 \times 10 = 1000\) con.

Tổng số: \(100 + 1000 = 1100\) cá thể.

+ Tại \(t = 14\): 100 cá thể mẹ chết. Còn lại 1000 cá thể.

+ Tại \(t = 16\): 1000 cá thể này sinh sản.

Số lượng đẻ thêm: \(1000 \times 10 = 10000\) con.

Tổng số: \(1000 + 10000 = 11000\) cá thể.

+ Tại \(t = 17\): Chưa đến thời điểm chết của các cá thể mẹ (tuần 16 + 6 = 22 mới chết) và cũng chưa đến kỳ sinh sản tiếp theo.

Số lượng giữ nguyên là \[11000\].