Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm cạnh S C . Mặt phẳng (P) đi qua A M , song song với B D chia khối chóp thành hai phần. Gọi V 1 là thể tích khối đa diện

80/100

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi ${\rm{M}}$ là trung điểm cạnh $SC$. Mặt phẳng (P) đi qua ${\rm{AM}}$, song song với ${\rm{BD}}$ chia khối chóp thành hai phần. Gọi ${V_1}$ là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S, ${V_2}$ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$?

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{3}$

$\frac{1}{2}$

Giải thích

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện của mặt phẳng (P) tạo với khối chóp S.ABCD

- Tính tỉ số thể tích khối đa diện dựa trên công thức tính nhanh

Lời giải

$Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi ${\rm{M}}$ là trung điểm cạnh $SC$. Mặt phẳng (P) đi qua ${\rm{AM}}$, song song với ${\rm{BD}}$ chia khối chóp thành hai phần. Gọi ${V_1}$ là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S, ${V_2}$ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}$? A. $\frac{2}{3}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{1}{2}$ D. 1 (ảnh 1)$

Giả sử (P) cắt SB tại N, cắt SD tại P

Ta có thiết diện là ANMP

Gọi G là giao điểm của AM và SO

Xét : Do AM và SO là các trung tuyến nên G là trọng tâm

Xét

$ \Rightarrow \frac{{SN}}{{SB}} = \frac{{SP}}{{SD}} = \frac{{SG}}{{SO}} = \frac{2}{3}$

Giả sử thể tich khối chóp S.ABCD là V

Ta có: $\frac{{{V_{S.ANMP}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \frac{{\frac{{SB}}{{SN}} + \frac{{SD}}{{SP}} + \frac{{SC}}{{SM}} + 1}}{{4.\frac{{SB}}{{SN}}.\frac{{SD}}{{SP}}.\frac{{SC}}{{SM}}.1}} = \frac{{\frac{3}{2} + \frac{3}{2} + 2 + 1}}{{4.\frac{3}{2}.\frac{3}{2}.2.1}} = \frac{1}{3}$

Hay $\frac{{{V_1}}}{V} = \frac{1}{3}$

Mà ${V_1} + {V_2} = V$

$ \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{1}{2}$. Chọn C

Chọn C