Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h
26/31
Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h < R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình \[y = \sqrt {{R^2} - {x^2}} \], trục hoành và hai đường thẳng x=R – h, x = R xung quanh trục Ox (Hình vẽ). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.
Thế tích cần tìm là:
\(\begin{array}{l}V = \pi \int_{R - h}^R {\left( {{R^2} - {x^2}} \right)} dx = \left. {\pi \left( {{R^2}x - \frac{{{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{R - h}^R = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}(R - h) + \frac{{{{(R - h)}^3}}}{3}} \right)\\ = \pi \left( {{R^3} - \frac{{{R^3}}}{3} - {R^3} + {R^2}h + \frac{{{R^3}}}{3} - {R^2}h + R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right) = \pi \left( {R{h^2} - \frac{{{h^3}}}{3}} \right) = \pi {h^2}\left( {R - \frac{h}{3}} \right)\end{array}\)