Khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số y = 2/x+1 là: A. (– ∞; –1) và (–1; + ∞); B. ℝ\{– 1}; C. (– ∞; –1); D. (–1; + ∞).

Đáp án đúng là A

Tập xác định D = ℝ\{– 1}

Lấy x₁, x₂ là hai số tùy ý thuộc (– ∞; –1) và (–1; + ∞) sao cho x₁ < x₂ ta có:

f(x₁) – f(x₂) = 2x1+1−2x2+1=2x2+1x1+1x2+1−2x2+1x1+1x2+1=2x2−x1x1+1x2+1

+) Nếu x₁, x₂ ∈ (– ∞; –1) thì x₁ + 1, x₂ + 1 < 0 mà x₂ – x₁ > 0

Suy ra 2x2−x1x1+1x2+1>0 nên f(x₁) > f(x₂).

Do đó hàm số đã đồng biến trên (– ∞; –1).

+) Nếu x₁, x₂ ∈ (–1; + ∞) thì x₁ + 1, x₂ + 1 > 0 mà x₂ – x₁ > 0

Suy ra 2x2−x1x1+1x2+1>0 nên f(x₁) > f(x₂).

Do đó hàm số đã đồng biến trên (–1; + ∞).

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng (– ∞; –1) và (–1; + ∞).