Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng ma/n với m/n là phân số tối giản, m > 0,n > 0. Giá trị m + n bằng bao nhiêu?

70/78

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi cạnh \(a\), \[\widehat {ABC} = 60^\circ \]. Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). Biết rằng \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\), \(SO = \frac{{3a}}{4}\). Khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) bằng \(\frac{{ma}}{n}\) với \(\frac{m}{n}\) là phân số tối giản, \(m > 0,n > 0\). Giá trị \(m + n\) bằng bao nhiêu?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Hướng dẫn giải

Trả lời: 11

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng ma/n với m/n là phân số tối giản, m > 0,n > 0. Giá trị m + n bằng bao nhiêu? (ảnh 1)

Gọi \(I\) là hình chiếu của \(O\) trên \(CD\). \[H\] là hình chiếu của \(O\) trên \(SI\).

Thấy rằng \(CD \bot \left( {SOI} \right)\) nên \(CD \bot OH\).

Mà \(OH \bot SI\) nên \(OH \bot \left( {SCD} \right)\). Suy ra \(d\left( {O,\left( {SCD} \right)} \right) = OH\).

Vì \(AB = BC\), \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên tam giác \(ABC\) đều.

Suy ra \(OB = OD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\), \(OA = OC = \frac{a}{2}\).

Xét tam giác vuông \(DOC\) có \(OI = \frac{{OC.OD}}{{CD}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}{\rm{.}}\)

Xét tam giác vuông \(SOI\) có \(SI = \sqrt {{{\left( {\frac{{3a}}{4}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \[{\rm{\;}}OH = \frac{{SO.OI}}{{SI}} = \frac{{3a}}{8}\]. Suy ra \(\frac{m}{n} = \frac{3}{8}\). Vậy \(m + n = 3 + 8 = 11\).