Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ( P ) là:

87/120

Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(\frac{{2ac\sqrt 3 }}{{3\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\).

\(\frac{{2ac\sqrt 3 }}{{\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\).

\(\frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\).

\(\frac{{2ac\sqrt 6 }}{{\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\).

Giải thích

Cách 1: Tứ giác lồi AEMF có các đường chéo AM, EF vuông góc với nhau nên có diện tích \({S_{AEMF}} = \frac{1}{2}AM \cdot EF = \frac{1}{2}\sqrt {A{O^2} + O{J^2} + J{M^2}} \cdot \frac{2}{3}OD\) (J là trung điểm của OB)

\( = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{2} + \frac{{{c^2}}}{4}} \cdot \frac{2}{3}\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{6}a\sqrt {6{a^2} + {c^2}} \).

Vậy khoảng cách điểm C đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(d\left( {C,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{3{V_{C.AEMF}}}}{{{S_{AEMF}}}} = \frac{{{a^2}c\frac{{\sqrt 2 }}{3}}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{6}a\sqrt {6{a^2} + {c^2}} }} = \frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {6{a^2} + {c^2}} }}\).

Cách 2: Sử dụng công thức tính khoảng cách trong không gian Oxyz, ta tính được khoảng cách từ điểm \(C\left( {0\,;\,0\,;\,c} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình \(c\sqrt 2 \left( {x - a} \right) - cy + 3a\sqrt 2 z = 0\) là:

\(d\left( {C,\,\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| { - ac\sqrt 2 + 3ac\sqrt 2 } \right|}}{{\sqrt {2{c^2} + {c^2} + 18{a^2}} }} = \frac{{2ac\sqrt 6 }}{{3\sqrt {{c^2} + 6{a^2}} }}\). Chọn C.