Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng ( S C M ) là:

62/120

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 2, \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\); góc giữa đường thẳng \(SB\)và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)bằng \(60^\circ \). Gọi \(M\)là trung điểm của cạnh \(AB\). Khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCM} \right)\) là:

\(\frac{{4\sqrt {39} }}{{13}}\).

\(\frac{{3\sqrt {39} }}{{13}}\).

\(\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).

\(\frac{{\sqrt {39} }}{{13}}\).

Giải thích

v (ảnh 1)

Vì \(AB\) là hình chiếu của \(SB\)trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), nên góc giữa đường thẳng \(SB\)và mặt phẳng\(\left( {ABC} \right)\) bằng \[\widehat {SBA} = 60^\circ \]\[ \Rightarrow SA = AB \cdot tan60^\circ = 2\sqrt 3 \].

Do \[M = AB \cap \left( {SCM} \right)\], \(M\)là trung điểm của \(AB\)

\( \Rightarrow d\left( {A,\left( {SCM} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SCM} \right)} \right)\).

Vì \[\left\{ \begin{array}{l}CM \bot AB\\CM \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CM \bot \left( {SAB} \right)\].

Mặt khác \[CM \subset \left( {SCM} \right) \Rightarrow \left( {SCM} \right) \bot \left( {SAB} \right)\] và \[\left( {SCM} \right) \cap \left( {SAB} \right) = SM\], nên kẻ \[AH \bot SM\]tại \(H\)\[ \Rightarrow AH \bot \left( {SMC} \right)\]\( \Rightarrow AH = d\left( {A,\left( {SMC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SMC} \right)} \right)\).

Xét tam giác \(SAM\) vuông tại \(A\), ta có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{M^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{1^2}}} = \frac{{13}}{{12}}\)

\( \Rightarrow A{H^2} = \frac{{12}}{{13}} \Rightarrow AH = \sqrt {\frac{{12}}{{13}}} = \frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\).

Vậy khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {BCM} \right)\)bằng \(\frac{{2\sqrt {39} }}{{13}}\). Chọn C.