Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

6/20

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB = a, \(AC = a\sqrt 3 \), SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng

\(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

\(\frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).

\(\frac{{2a\sqrt 3 }}{{19}}\).

\(\frac{{2a\sqrt {38} }}{{19}}\).

Giải thích

Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng (ảnh 1)

Kẻ AH ^ BC mà BC ^ SA (SA ^ (ABC)) Þ BC ^ (SAH).

Kẻ AK ^ SH mà BC ^ AK (do BC ^ (SAH)) Þ AK ^ (SBC).

Do đó d(A, (SBC)) = AK.

Xét DABC vuông tại A, đường cao AH có \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{3{a^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét DSAH vuông tại A, AK là đường cao, ta có \(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{4}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{12{a^2}}}\).

Suy ra \(AK = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).