Khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ thuộc hai nhánh của đồ thị hàm số

Đáp án A

Điều kiện:x≠−1.

Ta có y=x−1x+1=1−2x+1

Gọi Ax1;1−2x1+1;Bx2;1−2x2+1là các điểm thuộc đồ thị hàm số. Suy ra AB2=x1−x22+2x2+1−2x1+12

Giả sử A thuộc nhánh trái và B thuộc nhánh phải, khi đó x1<−1<x2⇔−1−x1<0x2+1>0

Đặt t1=−1−x1⇒t1>0t2=x2+1⇒t2>0⇔x1=−1−t1x2=t2−1⇔x1−x2=−t1−t2.

AB2=x1−x22+2x2+1−2x1+12=t1+t22+2t2+2t12=t12+2t1t2+t22+4t12+8t1t3+4t22=t12+4t12+t22+4t22+2t1t2+8t1t2.

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có t12+4t12≥2t12.4t12=4t22+4t22≥2t22.4t22=42t1t2+8t1t2≥22t1t2.8t1t2=8..

Vậy AB2≥4+4+8=16⇒AB≥4