a) Sai. Đường thẳng \(BC\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;2} \right)\).

b) Đúng. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(A\) trên \(BC\). Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\). Khi đó \(\left( P \right)\) nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến.

Do đó \(\left( P \right)\) có phương trình là \( - \left( {x - 6} \right) + \left( {y - 3} \right) + 2\left( {z - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow - x + y + 2z - 7 = 0\).

Tọa độ điểm \(H\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = 2t\\ - x + y + 2z - 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 - t\\y = 2 + t\\z = 2t\\ - 1 + t + 2 + t + 4t - 7 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\\z = 2\\t = 1\end{array} \right.\).

Vậy \(H\left( {0;3;2} \right)\).

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(H\)là trung điểm của \(BC\).

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \(BC\) đi qua \(H\left( {0;3;2} \right)\) và vuông góc với \(BC\) nên nhận \(\overrightarrow u = \left( { - 1;1;2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là

\( - x + \left( {y - 3} \right) + 2\left( {z - 2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x - y - 2z + 7 = 0\).

c) Sai. Vì \(G\left( {x;y;z} \right)\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(\overrightarrow {AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AH} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 6 = \frac{2}{3} \cdot \left( { - 6} \right)\\y - 3 = \frac{2}{3} \cdot 0\\z - 5 = \frac{2}{3} \cdot \left( { - 3} \right)\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 3\\z = 3\end{array} \right.\). Suy ra \(G\left( {2;3;3} \right)\).

d) Đúng. Ta có \(\overrightarrow {AH} = \left( { - 6;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {{u_{BC}}} = \left( { - 1;1;2} \right)\)\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AH} ,\overrightarrow {{u_{BC}}} } \right] = \left( {3;15; - 6} \right) = 3\left( {1;5; - 2} \right)\).

Vì \(\Delta \bot AH,\Delta \bot BC\) nên \(\Delta \) nhận \(\overrightarrow n = \left( {1;5; - 2} \right)\) làm vectơ chỉ phương.

Mà \(\Delta \) đi qua \(G\) nên \(\Delta \) có dạng \(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{5} = \frac{{z - 3}}{{ - 2}}\).

Thay tọa độ điểm \(Q\left( {1; - 2;5} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta \): \(\frac{{1 - 2}}{1} = \frac{{ - 2 - 3}}{5} = \frac{{5 - 3}}{{ - 2}} = - 1\).

Vậy điểm \(Q\left( {1; - 2;5} \right)\) thuộc đường thẳng \(\Delta \).

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng