a) Theo lý thuyết phương trình đoạn chắn thì mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)có phương trình:\(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\,\,\,\left( 1 \right)\). Vậy a) Đúng.

b) Vì \(G\left( {1;2;3} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 = \frac{{a + 0 + 0}}{3}\\2 = \frac{{0 + b + 0}}{3}\\3 = \frac{{0 + 0 + c}}{3}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 9\end{array} \right.\)

Thay vào \(\left( 1 \right)\)ta được phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{3} + \frac{y}{6} + \frac{z}{9} = 1\,\, \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 18 = 0\)Vậy b) Sai.

c) Xét tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc và \(H\) là trực tâm tam giác \(ABC\) suy ra \(OH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(\left( {ABC} \right)\) đi qua \(H\) và có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {OH} = \left( {1;1;1} \right)\).

Khi đó \(\left( {ABC} \right):x + y + z - 3 = 0\). Vậy c) Đúng

d) Phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) \(\left( 1 \right)\)

\(M\left( {2; - 2;3} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) nên \(\frac{2}{a} - \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\,\,\left( 2 \right)\)

Vì \(a,b,c\)đều dương nên ta có \(OA = a;\,OB = b;\,OC = c\).

\(OA,\,OB,\,OC\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng có công sai bằng \(2\) nên suy ra

\(b = a + 2\) và \(c = a + 4\).

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \)\(\frac{2}{a} - \frac{2}{{a + 2}} + \frac{3}{{a + 4}} = 1\,\, \Leftrightarrow {a^3} + 3{a^2} - 2a - 16 = 0 \Leftrightarrow a = 2\).

Từ đó ta được \(b = 4;\,c = 6\).

Thay vào \(\left( 1 \right)\)ta được phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là: \(\frac{x}{2} + \frac{y}{4} + \frac{z}{6} = 1 \Leftrightarrow 6x + 3y + 2z - 12 = 0\)

\(D\left( {1;1;1} \right)\), \(d\left( {D;\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{1}{7}\)

Suy ra \(m = 1;\,n = 7\). Do đó \(T = m + n = 8\).

Vậy d) Đúng.

Khoảng cách giữa hai điểm I ( 1 ; 4 ; − 3 ) và K ( 6 ; 4 ; 5 ) là: