Khi thi công tuyến cao tốc Nghi Sơn-Bãi Vọt, đơn vị thi công cần san một ngọn núi nhỏ. Biết đường viền chân núi là một elip có trục lớn AB = 400 m và trục bé CD = 200 m ;

Đáp án: 7,11.

Trong hệ tọa độ \(Oxy\) chứa đường elip có hai trục \(AB,CD\) ta có phương trình đường elip là đường viền chân núi là \(\frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{{100}^2}}} = 1\)

Trong mặt phẳng chứa đường tròn đường kính \(AB\) vuông góc với mặt đất thì phương trình đường tròn là \({x^2} + {y^2} = {200^2}\).

Trong mặt phẳng vuông góc với \(AB\) cắt ngọn núi theo mặt cắt có dạng parabol thì diện tích mặt cắt được tính theo công thức \(S = \frac{2}{3}h.D\).

Trong đó \(h\left( x \right) = \sqrt {{{200}^2} - {x^2}} \), \(D = 2.100\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}}  = 200\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)

Vậy diện tích mặt cắt là \(S\left( x \right) = \frac{2}{3}.\sqrt {{{200}^2} - {x^2}} .200.\sqrt {1 - \frac{{{x^2}}}{{{{200}^2}}}} \)\( = \frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}\)

Khi đó thể tích ngọn núi bằng \(V = \int\limits_{ - 200}^{200} {S\left( x \right)dx = \int\limits_{ - 200}^{200} {\frac{{2\left( {{{200}^2} - {x^2}} \right)}}{3}dx} } \)\( \approx 7,11\)(triệu \({m^3}\))