Khi góc nhìn từ con tàu đến hai trạm quan sát là 90 độ thì tàu được neo lại, lúc này khoảng cách từ con tàu đến bờ biển là bao nhiêu?
13/35
Trên bờ biển có hai trạm quan sát \(A\) và \(B\) cách nhau \(10\,{\rm{km}}\), một con tàu \(T\) đang ở vị trí sao cho hiệu khoảng cách từ nó đến \(A\) và \(B\) là \(2\sqrt {10} \,{\rm{km}}\). Người ta điều khiển con tàu \(T\) đi vào bờ biển sao cho hiệu khoảng cách từ nó đến \(A\) và \(B\) luôn là \(2\sqrt {10} \,{\rm{km}}\). Khi góc nhìn từ con tàu đến hai trạm quan sát là \(90^\circ \) thì tàu được neo lại, lúc này khoảng cách từ con tàu đến bờ biển là bao nhiêu?
\[2\] km.
\[5\] km.
\[2,5\] km
\(3\) km.
Lời giải
Chọn hệ trục toạ độ \[Oxy\] như hình trên, trong đó \(1\,{\rm{km}}\) ứng với 1 đơn vị.
Do \(\left\{ \begin{array}{l}\left| {TA - TB} \right| = 2\sqrt {10} \\A\left( { - 5;0} \right),\,\,B\left( {5;0} \right)\end{array} \right.\) nên \(T\) thuộc hypebol \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{10}} - \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1\).
Khi con tàu \(T\) được neo lại ta có \(\widehat {ATB} = 90^\circ \), tức \(T\) thuộc đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = 25\).
Không mất tổng quát, ta giả sử tọa độ của điểm \(T\) đều dương.
Lúc này toạ độ của \(T\) thoả mãn hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2}}}{{10}} - \frac{{{y^2}}}{{15}} = 1\,\,\,}\\\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 25\\{x_T} > 0,{y_T} > 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} = 16\\{y^2} = 9\end{array} \right. \Rightarrow \left| y \right| = 3\).
Vậy \({y_T} = 3\). Khi đó khoảng cách từ con tàu \(T\) đến bờ biển là \(3\;{\rm{km}}\). Chọn D.