Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao
22/22
Khi gắn hệ tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên mỗi trục tính theo mét) vào một căn nhà (hình minh họa bên dưới) sao cho điểm \(H\left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\). Điểm \(H\) là hình chiếu vuông góc của gốc toạ độ \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\), số đo góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y - 11 = 0\) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
Ta có \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) xuống mặt phẳng \(\left( P \right)\) nên \(OH \bot \left( P \right)\). Do đó \(\overrightarrow {OH} = \left( {2;{\rm{ }}1;{\rm{ }}2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).
Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;{\rm{ }}1;{\rm{ }}0} \right)\).
Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\).
Ta có \(\cos \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {OH} .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {OH} } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + 2.0} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {2^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \alpha = 45^\circ \).
Vây góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),{\rm{ }}\left( Q \right)\) là \(45^\circ \).