Khi đó s i n α bằng

83/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 82 đến 83

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = 2a,AD = a\). Mặt bên \(\left( {SAB} \right)\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(BD\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Khi đó \({\rm{sin}}\alpha \) bằng

\(\frac{{\sqrt 3 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

\(\frac{{\sqrt 6 }}{3}\).

\(\frac{{\sqrt {10} }}{5}\).

Giải thích

Gọi I là hình chiếu vuông góc của \(A\) trên \(SB\), khi đó \(AI \bot \left( {SBC} \right)\).

Nên \({\rm{sin}}\left( {BD,\left( {SBC} \right)} \right) = {\rm{cos}}\left( {BD,AI} \right) \Rightarrow {\rm{sin}}\alpha = {\rm{cos}}\left( {BD,AI} \right)\).

A (ảnh 1)

Ta có \(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} \), \(\overrightarrow {AI} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BI} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BS} = \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {BH} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HS} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HS} \).

Và \(BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 ,AI = \frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Do đó \({\rm{cos}}\left( {BD,AI} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {BD} \cdot \overrightarrow {AI} } \right|}}{{BD \cdot AI}} = \frac{{\left| {\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {HS} } \right)} \right|}}{{a\sqrt 5 \cdot a\sqrt 3 }} = \frac{{\frac{3}{4}A{B^2}}}{{{a^2}\sqrt {15} }}\)\( = \frac{{\frac{3}{4} \cdot {{\left( {2a} \right)}^2}}}{{{a^2}\sqrt {15} }} = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\).

Vậy \({\rm{sin}}\alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{5}\). Chọn B.