Khi đó M + m bằng

72/120

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu từ 71 đến 72

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x + \cos x - 1\).

Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\) lần lượt là \(M,\,\,m\). Khi đó \(M + m\) bằng

\[\frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{4}\].

\[\frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2}\].

\(\frac{{ - 1 - 2\sqrt 2 }}{4}\).

\(\frac{1}{4}\).

Giải thích

Xét \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x + \cos x - 1 = - {\cos ^2}x + \cos x\) trên \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\).

Đặt \(t = \cos x\), \(t \in \left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right]\). Khi đó hàm số \(f\left( x \right)\) trở thành \(f\left( t \right) = - {t^2} + t\).

\( \Rightarrow \)\(f'\left( t \right) = - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{2} \in \left[ { - \frac{{\sqrt 2 }}{2};1} \right].\)

Ta có \(f\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2},\,\,f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4},\,\,f\left( 1 \right) = 0\).

Do đó \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]} \,f\left( x \right) = \frac{1}{4},\,\,m = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]} \,f\left( x \right) = \frac{{ - 1 - \sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(M + m = \frac{{ - 1 - 2\sqrt 2 }}{4}\). Chọn C.